From cb9a1e457401f6e7aa7ecc1f82f92abe05503c81 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Matt McKay Date: Mon, 12 Oct 2026 13:33:56 +1100 Subject: [PATCH 1/4] Update translation: lectures/gallant_tauchen.md --- lectures/gallant_tauchen.md | 1413 +++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 1413 insertions(+) create mode 100644 lectures/gallant_tauchen.md diff --git a/lectures/gallant_tauchen.md b/lectures/gallant_tauchen.md new file mode 100644 index 00000000..d1598a9c --- /dev/null +++ b/lectures/gallant_tauchen.md @@ -0,0 +1,1413 @@ +--- +jupytext: + text_representation: + extension: .md + format_name: myst + format_version: 0.13 + jupytext_version: 1.16.6 +kernelspec: + display_name: Python 3 (ipykernel) + language: python + name: python3 +translation: + title: 应匹配哪些矩？ + headings: + Overview: 概述 + The estimation problem: 估计问题 + The auxiliary model and its score: 辅助模型及其得分 + The estimator: 估计量 + Why the score is the right thing to match: 为什么得分是正确的匹配对象 + Efficiency: 效率 + Comparison with matching the auxiliary parameters: 与匹配辅助参数的方法的比较 + Choosing the score generator: 选择得分生成器 + 'A first example: an AR(1) inside an AR(2)': 第一个例子：AR(2) 内部嵌套的 AR(1) + 'A second example: stochastic volatility': 第二个例子：随机波动率 + Testing the structural model: 检验结构模型 + Applications: 应用 + Recovering the latent state: 恢复潜变量状态 + Related lectures: 相关讲座 + Exercises: 练习 +--- + +(gallant_tauchen)= +```{raw} jupyter +
+ + QuantEcon + +
+``` + +# 应匹配哪些矩？ + +```{contents} Contents +:depth: 2 +``` + +## 概述 + +一些结构经济模型具有以下两个特性： + +* 在给定已知参数向量的情况下，可以计算出一个均衡并对其进行模拟 + +* 无法以解析方式写出似然函数 + +我们能够求解"正向问题"，即把参数向量映射为数据的概率分布。 + +我们无法使用最大似然法来求解"逆向问题"，即把观测到的数据集映射为参数向量的估计。 + +拥有此类模型的研究者转而使用 {cite:t}`Hansen1982` 提出的广义矩方法，并通过模拟来计算矩 {cite}`McFadden1989,PakesPollard1989,DuffieSingleton1993`。 + +他们必须决定要匹配哪些矩。 + +A. Ronald Gallant 与 George Tauchen 在 {cite:t}`GallantTauchen1996` 中研究了这一问题。 + +他们提出两个模型： + +* 经济学家的**结构**模型，由参数向量 $\rho$ 索引，其似然函数无法写出 + +* 一个独立的、描述性的**辅助**模型，由参数向量 $\theta$ 索引，其似然函数可以写出并最大化 + +这两个参数向量通常维度不同，含义也总是不同。 + +* $\rho$ 刻画了结构模型内主体的偏好、技术、约束集合及其他特征。经济学家想要了解 $\rho$。 + +* $\theta$ 对观测数据进行概括总结。它的各个分量并不回答任何经济学问题。经济学家估计 $\theta$ 只是作为估计 $\rho$ 的一个步骤。 + +| | 结构模型 | 辅助模型 | +|---|---|---| +| 密度 | $p(y_t \mid x_t, \rho)$ | $f(y_t \mid x_t, \theta)$ | +| 参数 | $\rho \in \mathbb{R}^{k_\rho}$ | $\theta \in \mathbb{R}^{k_\theta}$ | +| 解释 | 经济学的 | 描述性的 | +| 似然函数 | 不可得 | 可得 | +| 作用 | 推断对象 | 矩条件来源 | + +这里 $x_t$ 汇集了 $y_t$ 的滞后值，可能是整个历史。 + +在下文的随机波动率例子中，$\rho = (a, r_w, r_y)$ 控制一个潜在的对数波动率过程，而 $\theta = (\mu, \omega, \alpha, \beta)$ 则是 GARCH(1,1) 模型的参数。 + +$\theta$ 中没有任何一个分量与 $\rho$ 中的某个分量相对应。 + +Gallant 和 Tauchen 的方法使用与辅助模型似然函数相关联的**得分**作为 GMM 的矩向量。 + +他们对观测数据只拟合一次 $\theta$。 + +然后他们选取 $\rho$，使得在由结构模型模拟出的数据中，在该拟合的 $\theta$ 处计算出的辅助得分的平均值尽可能接近于零。 + +```{note} +{ref}`gt_why_score` 一节表明，得分矩条件就是库尔贝克-莱布勒散度的负梯度。 +{doc}`divergence_measures` 和 {doc}`likelihood_ratio_process` 研究了 KL 散度的性质。 +``` + +Gallant 和 Tauchen 证明，如果辅助模型嵌套了结构模型，那么他们的估计量与最大似然估计一样有效。 + +他们论证道，如果辅助模型很好地逼近了数据的分布，那么该估计量几乎同样有效。 + +实务工作者把他们的方法称为**有效矩方法**，即 EMM。 + +{cite:t}`GallantTauchen2010` 对该方法及其应用作了综述。 + +让我们先导入一些包。 + +```{code-cell} ipython3 +import numpy as np +import matplotlib.pyplot as plt +from numba import jit +from scipy.optimize import minimize +from scipy.stats import chi2 +``` + +## 估计问题 + +结构模型是观测过程 $\{y_t\}$ 的概率密度序列， + +$$ +p(y_t \mid x_t, \rho), \qquad \rho \in \mathcal{R} \subset \mathbb{R}^{k_\rho} , +$$ + +其中 $x_t$ 汇集了模型所依赖的条件信息，通常是 $y_t$ 的滞后值。 + +我们称 $\rho$ 为**结构参数向量**。 + +自然界根据 $\rho^0$ 生成了观测数据 $\{\tilde y_t, \tilde x_t\}_{t=1}^n$。 + +波浪号标记的是观测数据以及由其计算出的统计量。 + +帽子符号标记的是模拟数据以及最终的估计量 $\hat\rho_n$。 + +我们对结构模型做两个假设。 + +模拟是可行的：给定 $\rho$，我们可以生成一个很长的人工序列 $\{\hat y_\tau, \hat x_\tau\}_{\tau=1}^N$。 + +似然函数不可得：$\prod_t p(\tilde y_t \mid \tilde x_t, \rho)$ 没有我们能够计算和最大化的表达式。 + +Gallant 和 Tauchen 把一个平稳的马尔可夫结构模型作为主要案例。 + +这样一来，一次长模拟即足以计算该模型下的任何期望值。 + +他们的论文还涵盖了独立的横截面数据，以及运动规律依赖于 $t$ 的过程。 + +## 辅助模型及其得分 + +辅助模型是针对同一观测过程的第二个密度序列， + +$$ +f(y_t \mid x_t, \theta), \qquad \theta \in \Theta \subset \mathbb{R}^{k_\theta} . +$$ + +我们称 $\theta$ 为**辅助参数向量**。 + +Gallant 和 Tauchen 把辅助模型称为**得分生成器**。 + +一个有用的辅助模型具有两个特性。 + +它的密度具有解析表达式，因此我们能够写出其似然函数并对其求导。 + +它能很好地描述数据。 + +第一个特性是必需的。 + +一致性只要求得分能够识别 $\rho$，正如 {ref}`gt_ex1` 和 {ref}`gt_ex3` 所展示的那样。 + +{ref}`gt_choosing` 一节解释了良好拟合能带来什么好处。 + +资产收益率的 GARCH 模型、向量自回归，以及条件密度的埃尔米特级数展开，都符合要求。 + +辅助模型的**得分**是其对数密度相对于其自身参数的导数， + +$$ +s(y, x, \theta) = \frac{\partial}{\partial \theta} \ln f(y \mid x, \theta) . +$$ + +得分是一个 $k_\theta \times 1$ 向量，我们可以在任意 $(y, x, \theta)$ 处计算它的值。 + +## 估计量 + +该估计量分三步进行。 + +**第一步，投影。** 通过拟最大似然法把辅助模型拟合到观测数据上， + +$$ +\tilde \theta_n = \arg\max_{\theta \in \Theta} \frac{1}{n} \sum_{t=1}^n \ln f(\tilde y_t \mid \tilde x_t, \theta) . +$$ + +这一步只用到数据和辅助模型，因此在估计任何结构参数之前，它只进行一次。 + +**第二步，通过模拟计算矩。** 将矩函数 $m(\rho, \theta)$ 定义为*结构模型下*辅助得分的期望， + +```{math} +:label: eq:gt_mfun + +m(\rho, \theta) = \int \! \! \int s(y, x, \theta) \, p(y \mid x, \rho) \, dy \, p(x \mid \rho) \, dx , +``` + +其中 $p(x \mid \rho)$ 是结构模型下 $x_t$ 的平稳密度。 + +一次长模拟可以在 $\theta = \tilde\theta_n$ 处近似该二重积分， + +```{math} +:label: eq:gt_moment + +m(\rho, \tilde \theta_n) \approx \frac{1}{N} \sum_{\tau=1}^{N} s(\hat y_\tau, \hat x_\tau, \tilde \theta_n) +``` + +{eq}`eq:gt_moment` 式的右边是从在 $\rho$ 处由结构模型生成的长模拟上对辅助得分求平均。 + +每次计算都需要一次模拟，而不需要优化。 + +**第三步，GMM。** 通过使矩向量在 GMM 度量允许的范围内尽量接近零，来估计 $\rho$， + +```{math} +:label: eq:gt_estimator + +\hat \rho_n = \arg\min_{\rho \in \mathcal{R}} \; + m(\rho, \tilde \theta_n)^\top \, (\tilde{\mathcal{I}}_n)^{-1} \, m(\rho, \tilde \theta_n) , +``` + +其中 + +```{math} +:label: eq:gt_weight + +\tilde{\mathcal{I}}_n = \frac{1}{n} \sum_{t=1}^n + s(\tilde y_t, \tilde x_t, \tilde \theta_n) \, s(\tilde y_t, \tilde x_t, \tilde \theta_n)^\top . +``` + +{eq}`eq:gt_weight` 式中的加权矩阵是数据处辅助得分的外积。 + +它估计 $\mathcal{I}^0$，即 $n^{-1/2} \sum_{t=1}^n s(\tilde y_t, \tilde x_t, \theta^0)$ 的渐近方差，其中 $\theta^0$ 是 $\tilde\theta_n$ 的概率极限。 + +它只依赖于辅助模型和数据。 + +当得分序列不相关时，外积是一个有效的估计。 + +一个能正确描述数据条件分布的辅助模型，会产生序列不相关的得分。 + +当辅助模型正确地设定了条件均值和条件方差时，高斯拟最大似然得分同样是序列不相关的 {cite}`BollerslevWooldridge1992`。 + +否则，Gallant 和 Tauchen 推荐使用带有帕尔森权重的异方差和自相关一致估计 {cite}`Gallant1987`，并引用 {cite:t}`Andrews1991` 作为备选方案。 + +{ref}`gt_ex4` 展示了当得分序列相关时，外积会在多大程度上低估 $\mathcal{I}^0$。 + +研究者只在开始搜索 $\rho$ 之前，计算一次这两种估计量中的任意一种。 + +GMM 通常需要对结构参数进行初步估计，以形成一个有效的加权矩阵，而借助这两种估计量中的任一个，这一需求就不复存在了。 + +识别的阶条件是 $k_\theta \ge k_\rho$。 + +阶条件是必要而非充分的，{ref}`gt_ex3` 构造了一个失败的例子。 + +(gt_why_score)= +## 为什么得分是正确的匹配对象 + +{doc}`divergence_measures` 表明，最大似然法最小化的是从数据的经验分布到参数化模型之间的 KL 散度。 + +第一步通过最小化 KL 散度将数据投影到辅助模型族上。 + +对每个 $\rho$，定义**伪真值** + +$$ +\theta^0(\rho) = \arg\min_{\theta \in \Theta} \; + D_{KL}\bigl( p(\cdot \mid \rho) \, \| \, f(\cdot \mid \theta) \bigr) , +$$ + +它是辅助模型族中与 $\rho$ 处的结构模型最接近的点 {cite}`White1982` [^gt_cond]。 + +[^gt_cond]: 这里 $p(\cdot \mid \rho)$ 和 $f(\cdot \mid \theta)$ 是给定 $x_t$ 时 $y_t$ 的条件密度。该散度是把 $\int p(y \mid x, \rho) \ln \bigl[ p(y \mid x, \rho) / f(y \mid x, \theta) \bigr] \, dy$ 在 $x_t$ 的平稳密度 $p(x \mid \rho)$ 上取平均。 + +函数 $\theta^0(\cdot)$ 把结构参数映射为辅助参数。 + +随着 $n$ 增大，$\tilde\theta_n$ 收敛于 $\theta^0 = \theta^0(\rho^0)$。 + +现在对 $\theta$ 微分该散度： + +```{math} +:label: eq:gt_kl + +\frac{\partial}{\partial \theta} D_{KL}\bigl( p(\cdot \mid \rho) \, \| \, f(\cdot \mid \theta) \bigr) + = \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \int p \ln p - \int p \ln f_\theta \right] + = - \, m(\rho, \theta) +``` + +{eq}`eq:gt_mfun` 式中的矩函数是库尔贝克-莱布勒散度的负梯度。 + +令 $m(\rho, \theta) = 0$，即给出了 KL 投影的一阶条件。 + +{eq}`eq:gt_estimator` 式的估计量所要寻找的结构参数，是使其对辅助模型族的 KL 投影落在数据的投影所落之处，或者说，当 $k_\theta > k_\rho$ 时，在 GMM 度量所允许的范围内尽量接近该处。 + +这一解读说明了为何结构模型不必嵌套在辅助模型之内。 + +在 $\rho = \rho^0$ 处，结构模型生成了数据，两种投影重合，从而 $m(\rho^0, \theta^0) = 0$。 + +{ref}`gt_ex1` 要求你验证这一推理链条。 + +## 效率 + +在较弱的正则性条件下，一致性和渐近正态性成立， + +$$ +\sqrt{n} \, (\hat \rho_n - \rho^0) \to N + \Bigl( 0, \bigl[ (M^0)^\top (\mathcal{I}^0)^{-1} M^0 \bigr]^{-1} \Bigr) , +\qquad M^0 = \frac{\partial}{\partial \rho^\top} m(\rho^0, \theta^0) , +$$ + +这是 {cite:t}`GallantTauchen1996` 的定理 1。 + +这里 $\mathcal{I}^0$ 就是 {eq}`eq:gt_weight` 式中 $\tilde{\mathcal{I}}_n$ 所估计的辅助得分的方差。 + +该公式假设加权矩阵收敛于 $(\mathcal{I}^0)^{-1}$，正如当 $\tilde{\mathcal{I}}_n$ 对 $\mathcal{I}^0$ 的估计具有一致性时 $(\tilde{\mathcal{I}}_n)^{-1}$ 所做的那样。 + +对于任何其他极限加权矩阵 $W$，渐近方差呈现出"三明治"形式 + +$$ +\bigl[ (M^0)^\top W M^0 \bigr]^{-1} (M^0)^\top W \, \mathcal{I}^0 \, W M^0 \bigl[ (M^0)^\top W M^0 \bigr]^{-1} . +$$ + +{ref}`gt_ex4` 用到了它。 + +Gallant 和 Tauchen 假设 $N$ 足够大，使得模拟误差可以忽略不计，因此该公式把 $m$ 当作精确计算的量来处理。 + +长度为 $N$ 的模拟会给 $m$ 添加独立的噪声，从而把 $\sqrt{n}\, m$（因而也是 $\hat\rho_n$）的渐近方差乘以 $1 + n/N$。 + +Gallant 和 Tauchen 说，当某个二次连续可微的映射 $g$ 把结构参数带入辅助参数时，结构模型**光滑地嵌入**于辅助模型之中， + +$$ +p(y \mid x, \rho) = f\bigl( y \mid x, g(\rho) \bigr) + \qquad \text{对一切靠近 } \rho^0 \text{ 的 } \rho \text{ 成立} . +$$ + +光滑嵌入意味着辅助模型嵌套了结构模型。 + +一般而言，$p(\cdot \mid \rho)$ 并不属于辅助模型族，也不存在满足此方程的 $g$。 + +函数 $\theta^0(\rho)$ 总是存在的。 + +在光滑嵌入条件下，$\theta^0(\rho) = g(\rho)$。 + +记 $G^0 = \partial g(\rho^0) / \partial \rho^\top$。 + +他们的定理 2 指出，光滑嵌入意味着 + +$$ +\sqrt{n} \, (\hat \rho_n - \rho^0) \to N + \Bigl( 0, \bigl[ (G^0)^\top \mathcal{I}^0 G^0 \bigr]^{-1} \Bigr) , +$$ + +这正是 $\rho$ 的最大似然估计量的渐近分布。 + +该证明的关键在于恒等式 $M^0 = \mathcal{I}^0 G^0$，它把 GMM 方差转化为 ML 方差。 + +该估计量在不需要结构似然函数的情况下，实现了最大似然的效率。 + +光滑嵌入是一个很强的假设，一致性和渐近正态性并不需要它。 + +Gallant 和 Tauchen 论证道，一个能很好地逼近数据分布、却不嵌套结构模型的辅助模型，所产生的估计量几乎是完全有效的。 + +Gallant 和 Tauchen 把这一点理解为关于如何选择辅助模型的指导：让它拟合得好。 + +## 与匹配辅助参数的方法的比较 + +间接推断是指通过辅助模型比较观测数据与模拟数据的一类估计量。 + +{cite:t}`GourierouxMonfortRenault1993` 和 {cite:t}`Smith1993` 匹配的是辅助参数。 + +{cite:t}`GourierouxMonfortRenault1993` 把 $\theta^0(\rho)$ 称为**约束函数**。 + +他们的估计量是 + +$$ +\hat \rho_{II} = \arg\min_{\rho} \; + \bigl[ \tilde\theta_n - \theta^0(\rho) \bigr]^\top \, \Omega \, \bigl[ \tilde\theta_n - \theta^0(\rho) \bigr] +$$ + +其中 $\Omega$ 是加权矩阵。 + +在光滑嵌入条件下 $\theta^0 = g$，选取 $\Omega = \mathcal{I}^0$ 便得到了最小卡方估计量，其效率与最大似然相当。 + +每当结构似然函数不可得时，约束函数也必定不可得，因此实务工作者会用在 $H$ 个模拟数据集上计算出的辅助估计值的平均数，来替代 $\theta^0(\rho)$。 + +这种替代代价高昂。 + +$\rho$ 的每一个试探值都需要对辅助似然函数进行 $H$ 次独立的最大化，每个模拟数据集一次。 + +基于得分的估计量只需要在第一步中对辅助似然函数进行一次最大化，此后再也不需要重复。 + +在恰当选取加权矩阵的情况下，基于参数的估计量与基于得分的估计量在渐近意义下是等价的 {cite}`GourierouxMonfortRenault1993`。 + +匹配得分的优势在于计算量。 + +有限样本下的表现则可能有所不同。 + +{cite:t}`DuffeeStanton2008` 研究了高度持续的高斯自回归模型，发现得分匹配给出的置信区间比参数匹配更宽，却反而更不容易覆盖真值。 + +他们把这个问题归因于总体方差在得分矩条件中所起的重要作用。 + +(gt_choosing)= +## 选择得分生成器 + +一个已知能够准确描述数据的模型，理应被用作辅助模型。 + +在缺乏这样的模型时，Gallant 和 Tauchen 推荐两类通用模型族。 + +{cite:t}`GallantNychka1987` 与 {cite:t}`GallantTauchen1989` 提出的**半非参数**（SNP）密度，把一个高斯密度乘以一个系数依赖于滞后值的埃尔米特多项式的平方。 + +调节参数可以把独立同分布的高斯模型、高斯 VAR、高斯 ARCH 和 GARCH，以及完全非线性的非参数设定全部纳入其中，因此通过设定搜索便能从数据中选出辅助模型 {cite}`GallantTauchen2010`。 + +**神经网络**得分则可以逼近任何非线性自回归，包括确定性混沌过程。 + +这两类模型族都是级数展开，因此增加项数会把逼近误差推向零。 + +增加项数同样会把得分的条件均值推向零，使得分趋近于鞅差分序列。 + +此时外积 {eq}`eq:gt_weight` 能准确地估计 $\mathcal{I}^0$，加权矩阵也无需对序列相关作出修正。 + +因此，良好的拟合可以带来两样东西：接近完全的效率，以及一个有效的外积加权矩阵。 + +{ref}`gt_ex4` 展示了当得分生成器不具备第二种性质时会发生什么。 + +项数的多少决定了偏差与方差之间的权衡。 + +项数越多，辅助模型的逼近误差越小，但 $\tilde\theta_n$ 的抽样方差越大。 + +Gallant 和 Tauchen 告诫不要取过多的项，而后又声称标准渐近理论仍然适用。 + +## 第一个例子：AR(2) 内部嵌套的 AR(1) + +有一个例子，我们*能够*计算出最大似然估计量，由此可以检验定理 2。 + +把一个高斯一阶自回归作为结构模型， + +$$ +y_t = \rho_1 y_{t-1} + \sigma \epsilon_t , \qquad \epsilon_t \sim N(0,1) , +$$ + +其中 $\rho = (\rho_1, \sigma)^\top$。 + +把一个高斯二阶自回归作为辅助模型， + +$$ +y_t = \theta_1 y_{t-1} + \theta_2 y_{t-2} + \varsigma e_t , \qquad e_t \sim N(0,1) , +$$ + +其中 $\theta = (\theta_1, \theta_2, \varsigma)^\top$。 + +AR(2) 通过 $g(\rho_1, \sigma) = (\rho_1, 0, \sigma)$ 嵌套了 AR(1)，因此结构模型被光滑地嵌入，且 $k_\theta = 3$ 超过了 $k_\rho = 2$。 + +$\theta_1$ 与 $\rho_1$ 这两个分量之所以共享同一种解释，仅仅是因为 AR(2) 嵌套了 AR(1)。 + +定理 2 预言，我们的估计量与最大似然估计量具有相同的渐近分布，二者之间只相差模拟因子 $1 + n/N$。 + +记 $u_t = y_t - \theta_1 y_{t-1} - \theta_2 y_{t-2}$，辅助得分为 + +$$ +s(y_t, x_t, \theta) = +\begin{bmatrix} u_t y_{t-1} / \varsigma^2 \\ u_t y_{t-2} / \varsigma^2 \\ -1/\varsigma + u_t^2 / \varsigma^3 \end{bmatrix} . +$$ + +```{code-cell} ipython3 +@jit(nopython=True) +def simulate_ar1(ρ1, σ, ε): + "Simulate the structural AR(1) from a fixed array of shocks ε." + n = ε.size + y = np.empty(n) + y[0] = σ * ε[0] / np.sqrt(1 - ρ1**2) + for t in range(1, n): + y[t] = ρ1 * y[t-1] + σ * ε[t] + return y + +def ar2_scores(θ, y): + "Per-observation scores of the Gaussian AR(2) auxiliary model." + θ1, θ2, ς = θ + yt, y1, y2 = y[2:], y[1:-1], y[:-2] + u = yt - θ1 * y1 - θ2 * y2 + return np.column_stack([u * y1 / ς**2, u * y2 / ς**2, -1/ς + u**2 / ς**3]) + +def ar2_qmle(y): + "Quasi-maximum likelihood estimates of the AR(2), available in closed form." + X = np.column_stack([y[1:-1], y[:-2]]) + b = np.linalg.lstsq(X, y[2:], rcond=None)[0] + ς = np.sqrt(np.mean((y[2:] - X @ b)**2)) + return np.array([b[0], b[1], ς]) +``` + +让我们从结构模型生成数据，并计算条件最大似然估计量，对该模型而言这就是最小二乘法。 + +```{code-cell} ipython3 +rng = np.random.default_rng(0) +T, ρ1_0, σ_0 = 1000, 0.8, 1.0 +y_data = simulate_ar1(ρ1_0, σ_0, rng.standard_normal(T)) + +X1 = y_data[:-1] +ρ1_mle = float(X1 @ y_data[1:] / (X1 @ X1)) +σ_mle = float(np.sqrt(np.mean((y_data[1:] - ρ1_mle * X1)**2))) +print(f"maximum likelihood: ρ1 = {ρ1_mle:.4f} σ = {σ_mle:.4f}") +``` + +第一步拟合辅助模型，并形成加权矩阵。 + +```{code-cell} ipython3 +θ_tilde = ar2_qmle(y_data) +S = ar2_scores(θ_tilde, y_data) +I_tilde = S.T @ S / S.shape[0] +W = np.linalg.inv(I_tilde) + +print(f"auxiliary QMLE: θ1 = {θ_tilde[0]:.4f}, θ2 = {θ_tilde[1]:.4f}, ς = {θ_tilde[2]:.4f}") +``` + +$\theta_2$ 的估计值落在零附近，这正与嵌套映射 $g$ 的预期相符。 + +第二步和第三步进行模拟与极小化。 + +我们只抽取一次扰动项 $\epsilon$，并在 $\rho$ 的每个试探值处重复使用。 + +我们把它们称为**公共随机数**，下面的图展示了它们对准则函数的影响。 + +```{code-cell} ipython3 +N = 20_000 +ε_sim = rng.standard_normal(N) # common random numbers + +def moments_ar1(ρ): + "Expectation under the structural model of the auxiliary score." + y_sim = simulate_ar1(ρ[0], ρ[1], ε_sim) + return ar2_scores(θ_tilde, y_sim).mean(axis=0) + +def criterion_ar1(ρ): + if not (abs(ρ[0]) < 0.999 and ρ[1] > 1e-6): + return 1e10 + m = moments_ar1(ρ) + return float(m @ W @ m) + +res = minimize(criterion_ar1, np.array([0.5, 1.5]), method='Nelder-Mead', + options=dict(xatol=1e-6, fatol=1e-12, maxiter=2000)) + +print(f"true values: ρ1 = {ρ1_0:.4f} σ = {σ_0:.4f}") +print(f"maximum likelihood: ρ1 = {ρ1_mle:.4f} σ = {σ_mle:.4f}") +print(f"score matching: ρ1 = {res.x[0]:.4f} σ = {res.x[1]:.4f}") +``` + +这两组估计值几乎重合，只在小数点后第三位才有差别。 + +下图在 $\sigma$ 固定于其估计值时，在 $\rho_1$ 的网格上计算了该准则函数。 + +一条曲线使用公共随机数 `ε_sim`，另一条曲线在每个网格点都重新抽取扰动项。 + +```{code-cell} ipython3 +--- +mystnb: + figure: + caption: Criterion with common and fresh shocks + name: fig-gt-common-random-numbers +--- +rng_fresh = np.random.default_rng(1) +ρ1_grid = np.linspace(0.77, 0.83, 61) +σ_hat = res.x[1] + +def criterion_fresh(ρ): + "The criterion with a fresh draw of shocks at each evaluation." + y_sim = simulate_ar1(ρ[0], ρ[1], rng_fresh.standard_normal(N)) + m = ar2_scores(θ_tilde, y_sim).mean(axis=0) + return float(m @ W @ m) + +crn = [criterion_ar1(np.array([r1, σ_hat])) for r1 in ρ1_grid] +fresh = [criterion_fresh(np.array([r1, σ_hat])) for r1 in ρ1_grid] + +fig, ax = plt.subplots() +ax.plot(ρ1_grid, crn, lw=2, label='common random numbers') +ax.plot(ρ1_grid, fresh, lw=2, label='fresh shocks at each point') +ax.set_xlabel(r'$\rho_1$') +ax.set_ylabel('criterion') +ax.legend() +plt.show() +``` + +新抽取的扰动项使准则函数变得锯齿不平，带有许多局部极小值。 + +公共随机数则使它成为 $\rho_1$ 的一个光滑函数，且只有一个极小值。 + +被极小化后的准则值检验了结构模型对辅助模型所施加的 $k_\theta - k_\rho = 1$ 个过度识别约束。 + +在正确设定的情况下，$n$ 乘以最小化后的准则值，再除以模拟因子 $1 + n/N$，其渐近分布为 $\chi^2(k_\theta - k_\rho)$ [^gt_sim]。 + +代码中用 `T` 表示样本容量 $n$。 + +[^gt_sim]: 在 AR(1) 例子中该因子为 $1.05$，在随机波动率例子中为 $1.04$。当 $N$ 相对于 $n$ 不够大时，这一点就很重要。 + +```{code-cell} ipython3 +J = T * criterion_ar1(res.x) / (1 + T / N) +df = 3 - 2 +print(f"J = {J:.3f}, χ²({df}) 5% critical value = {chi2.ppf(0.95, df):.3f}") +``` + +定理 1 给出了标准误。 + +我们通过对模拟矩向量进行中心差分来计算 $M^0$，由于公共随机数的使用，该矩向量关于 $\rho$ 是光滑的，然后我们把方差乘以模拟因子 $1 + n/N$。 + +对于 AR(1)，最大似然标准误对 $\rho_1$ 是 $\sqrt{(1 - \rho_1^2)/n}$，对 $\sigma$ 是 $\sigma / \sqrt{2n}$。 + +```{code-cell} ipython3 +def jacobian(moments, ρ, h=1e-4): + "Central-difference Jacobian of a moment function with respect to ρ." + cols = [] + for j in range(ρ.size): + e = np.zeros(ρ.size) + e[j] = h * max(1.0, abs(ρ[j])) + cols.append((moments(ρ + e) - moments(ρ - e)) / (2 * e[j])) + return np.column_stack(cols) + +def std_errors(moments, ρ, W, n, N): + "Asymptotic standard errors from Theorem 1, including the simulation factor." + M = jacobian(moments, ρ) + V = np.linalg.inv(M.T @ W @ M) * (1 + n / N) / n + return np.sqrt(np.diag(V)) + +se_emm = std_errors(moments_ar1, res.x, W, T, N) +se_mle = np.array([np.sqrt((1 - ρ1_mle**2) / T), σ_mle / np.sqrt(2 * T)]) + +print(f"{'':20}{'se ρ1':>10}{'se σ':>10}") +print(f"{'maximum likelihood':20}{se_mle[0]:10.4f}{se_mle[1]:10.4f}") +print(f"{'score matching':20}{se_emm[0]:10.4f}{se_emm[1]:10.4f}") + +e_data = y_data[1:] - ρ1_mle * y_data[:-1] +kurt_e = ((e_data - e_data.mean())**4).mean() / e_data.var()**2 +print(f"\nkurtosis of the residuals = {kurt_e:.2f}") +``` + +$\rho_1$ 的两个标准误在小数点后三位上是一致的。 + +针对 $\sigma$，得分匹配的标准误比最大似然的标准误大约多 10%。 + +模拟因子 $1 + n/N = 1.05$ 可以解释大约 2.5% 的差异。 + +剩下的差异则由加权矩阵 $\tilde{\mathcal{I}}_n$ 解释：它根据残差的样本四阶矩来估计 $\sigma$ 得分的方差，而该样本中的峰度是 3.3，总体中则是 3。 + +{ref}`gt_ex2` 要求你比较这两个估计量的抽样分布。 + +## 第二个例子：随机波动率 + +现在我们转向一个似然函数不可解的模型。 + +{cite:t}`GallantTauchen1996` 的第 4.2 节讨论了一个随机波动率模型，其均值方程中还包含一个截距项和一个滞后收益项。 + +我们舍去这两项，研究下面的模型 + +$$ +\begin{aligned} +y_t &= \exp(w_t) \, r_y \, z_t , \\ +w_t &= a \, w_{t-1} + r_w \, \eta_t , +\end{aligned} +$$ + +其中 $z_t$ 和 $\eta_t$ 是相互独立的标准正态随机变量，$\rho = (a, r_w, r_y)^\top$。 + +观测到的收益 $y_t$ 具有波动率 $\exp(w_t) r_y$，它由一个潜在的自回归过程 $w_t$ 所驱动。 + +写出 $\{y_t\}_{t=1}^n$ 的似然函数，需要把潜在波动率路径从一个 $n$ 维积分中积分掉， + +$$ +p(y_1, \ldots, y_n \mid \rho) = \int \cdots \int + \prod_{t=1}^n \phi\bigl( y_t ; 0, e^{2w_t} r_y^2 \bigr) \, p(w_1, \ldots, w_n \mid a, r_w) \, + dw_1 \cdots dw_n , +$$ + +而这无法用任何解析表达式求出。 + +模拟该模型只需要两行代码。 + +该模型能够产生厚尾现象与持续的波动率聚集现象。 + +{cite:t}`GallantHsiehTauchen1997` 使用 SNP 得分生成器，把完整的模型及其扩展拟合到标准普尔综合指数的 16127 个日度观测数据上。 + +{cite:t}`GallantTauchen1996` 第 4.1 节指出，ARCH 和 GARCH 模型能够很好地拟合收益率数据。 + +我们选择一个高斯 GARCH(1,1) 模型作为辅助模型， + +$$ +y_t = \mu + u_t , \qquad u_t = \sigma_t \nu_t , \qquad +\sigma_t^2 = \omega + \alpha u_{t-1}^2 + \beta \sigma_{t-1}^2 , +$$ + +其中 $\theta = (\mu, \omega, \alpha, \beta)^\top$，$\nu_t \sim N(0,1)$。 + +GARCH 条件密度通过 $\sigma_t^2$ 的递推关系依赖于 $y_t$ 的整个历史，因此这里 $x_t$ 是整个历史。 + +Gallant 和 Tauchen 把这样的得分生成器称为非马尔可夫型。 + +结构参数 $(a, r_w, r_y)$ 描述了一个潜在的对数波动率过程；辅助参数 $(\mu, \omega, \alpha, \beta)$ 描述的是观测收益率中的条件方差递推关系。 + +辅助模型不需要任何经济学解释。 + +它的凭据是对数据的良好拟合。 + +我们用数值方法对 GARCH 对数密度求导。 + +数值微分使方法保持通用性：一个辅助模型只需要支持对其对数似然函数的计算即可。 + +代码在无约束坐标 $(\mu, \log \omega, \operatorname{logit} \alpha, \operatorname{logit} \beta)$ 中拟合 GARCH 模型。 + +得分、加权矩阵和矩向量都是针对这些坐标而言的。 + +重新参数化既不改变 $\hat\rho_n$，也不改变检验统计量。 + +它把得分乘以一个固定的可逆矩阵，而 {eq}`eq:gt_estimator` 式中的准则函数对这种变换是不变的。 + +```{code-cell} ipython3 +@jit(nopython=True) +def simulate_sv(a, r_w, r_y, z, η): + "Simulate the structural stochastic volatility model." + n = z.size + y = np.empty(n) + w = r_w * η[0] / np.sqrt(1.0 - a * a) + y[0] = np.exp(w) * r_y * z[0] + for t in range(1, n): + w = a * w + r_w * η[t] + y[t] = np.exp(w) * r_y * z[t] + return y + +@jit(nopython=True) +def garch_ll(μ, ω, α, β, y): + "Per-observation log densities of the Gaussian GARCH(1,1) auxiliary model." + n = y.size + ll = np.empty(n) + s2 = ω / max(1e-8, 1.0 - α - β) + for t in range(n): + u = y[t] - μ + ll[t] = -0.5 * (np.log(2 * np.pi) + np.log(s2) + u * u / s2) + s2 = ω + α * u * u + β * s2 + return ll + +def unpack(θ): + "Map unconstrained parameters to ω > 0 and α, β in (0, 1)." + μ, lω, lα, lβ = θ + return μ, np.exp(lω), 1 / (1 + np.exp(-lα)), 1 / (1 + np.exp(-lβ)) + +def garch_negll(θ, y): + μ, ω, α, β = unpack(θ) + if α + β > 0.999: + return 1e10 + return -garch_ll(μ, ω, α, β, y).sum() + +def garch_scores(θ, y): + "Per-observation auxiliary scores by central differences." + p, n = θ.size, y.size + S = np.empty((n, p)) + for j in range(p): + h = 1e-5 * max(1.0, abs(θ[j])) + θp, θm = θ.copy(), θ.copy() + θp[j] += h + θm[j] -= h + S[:, j] = (garch_ll(*unpack(θp), y) - garch_ll(*unpack(θm), y)) / (2 * h) + return S +``` + +第 4.2 节没有给出具体的参数值，因此我们自己选取一组。 + +让我们从结构模型生成一个长的收益率序列。 + +```{code-cell} ipython3 +rng = np.random.default_rng(5) +T = 2000 +a_0, r_w0, r_y0 = 0.80, 0.20, 0.65 +y_sv = simulate_sv(a_0, r_w0, r_y0, rng.standard_normal(T), rng.standard_normal(T)) + +kurt = ((y_sv - y_sv.mean())**4).mean() / y_sv.var()**2 +print(f"standard deviation = {y_sv.std():.3f}, kurtosis = {kurt:.2f}") +``` + +在这些参数值下，$y_t$ 的总体峰度为 $3 \exp\bigl( 4 r_w^2 / (1 - a^2) \bigr) = 4.7$，高于高斯分布的值 3。 + +样本峰度低估了这一数值，重尾序列的样本峰度常常如此。 + +```{code-cell} ipython3 +--- +mystnb: + figure: + caption: Simulated returns from the SV model + name: fig-gt-sv-returns +--- +fig, ax = plt.subplots() +ax.plot(y_sv, lw=0.6) +ax.set_xlabel('$t$') +ax.set_ylabel('$y_t$') +plt.show() +``` + +第一步把 GARCH 辅助模型拟合到这些数据。 + +```{code-cell} ipython3 +θ_start = np.array([0.0, np.log(0.05), -2.0, 1.5]) +r = minimize(garch_negll, θ_start, args=(y_sv,), method='Nelder-Mead', + options=dict(maxiter=8000, xatol=1e-8, fatol=1e-8)) +θ_sv = r.x +μ_h, ω_h, α_h, β_h = unpack(θ_sv) +print(f"auxiliary GARCH QMLE: μ = {μ_h:.4f}, ω = {ω_h:.4f}, " + f"α = {α_h:.4f}, β = {β_h:.4f} (α + β = {α_h + β_h:.4f})") + +S_sv = garch_scores(θ_sv, y_sv) +W_sv = np.linalg.inv(S_sv.T @ S_sv / T) +``` + +$\alpha + \beta$ 等于 0.83，记录了辅助模型从数据中读出的波动率持续性。 + +第二步和第三步估计三个结构参数。 + +我们在无约束坐标上进行搜索，并在整个过程中重复使用同一对扰动数组。 + +```{code-cell} ipython3 +N = 50_000 +z_sim, η_sim = rng.standard_normal(N), rng.standard_normal(N) + +def moments_sv(ρ): + y_s = simulate_sv(ρ[0], ρ[1], ρ[2], z_sim, η_sim) + return garch_scores(θ_sv, y_s).mean(axis=0) + +def to_ρ(u): + "Map unconstrained coordinates to a in (0,1) and r_w, r_y > 0." + return np.array([1 / (1 + np.exp(-u[0])), np.exp(u[1]), np.exp(u[2])]) + +def criterion_sv(u): + if np.max(np.abs(u)) > 25: + return 1e10 + m = moments_sv(to_ρ(u)) + return float(m @ W_sv @ m) + +u_0 = np.array([np.log(0.6 / 0.4), np.log(0.3), np.log(0.5)]) +res_sv = minimize(criterion_sv, u_0, method='Nelder-Mead', + options=dict(maxiter=400, xatol=1e-4, fatol=1e-10)) +ρ_hat = to_ρ(res_sv.x) +``` + +定理 1 给出了标准误。 + +```{code-cell} ipython3 +se_sv = std_errors(moments_sv, ρ_hat, W_sv, T, N) + +print(f"{'':17}{'a':>9}{'r_w':>9}{'r_y':>9}") +print(f"{'true values':17}{a_0:9.4f}{r_w0:9.4f}{r_y0:9.4f}") +print(f"{'score matching':17}" + "".join(f"{x:9.4f}" for x in ρ_hat)) +print(f"{'standard errors':17}" + "".join(f"{x:9.4f}" for x in se_sv)) +``` + +该估计量找出了一个我们从未写出过似然函数的模型的全部三个参数。 + +每个估计值都落在其真值大约一个标准误的范围之内。 + +数据对尺度参数 $r_y$ 的刻画最为精确。 + +## 检验结构模型 + +辅助模型有四个参数，结构模型有三个参数，因此还剩下一个过度识别约束有待检验。 + +```{code-cell} ipython3 +J_sv = T * criterion_sv(res_sv.x) / (1 + T / N) +df_sv = 4 - 3 +print(f"J = {J_sv:.3f}, χ²({df_sv}) 5% critical value = {chi2.ppf(0.95, df_sv):.3f}") +``` + +数据对结构模型并不构成任何困扰，这是理所应当的，因为该结构模型正是数据的生成者。 + +一个设定有误的结构模型则表现不同。 + +让我们施加约束 $r_w = 0$，这将关闭随机波动率，只留下一个只有一个自由参数的高斯白噪声。 + +```{code-cell} ipython3 +def moments_const_vol(v): + "Moments of the constant volatility model r_w = 0, with v = log r_y; a has no effect." + return moments_sv(np.array([0.5, 1e-8, np.exp(v[0])])) + +def criterion_const_vol(v): + m = moments_const_vol(v) + return float(m @ W_sv @ m) + +r_cv = minimize(criterion_const_vol, np.array([0.0]), method='Nelder-Mead', + options=dict(maxiter=200, xatol=1e-6)) +J_cv = T * criterion_const_vol(r_cv.x) / (1 + T / N) +df_cv = 4 - 1 +print(f"constant volatility model: J = {J_cv:.1f}, " + f"χ²({df_cv}) 5% critical value = {chi2.ppf(0.95, df_cv):.3f}") +``` + +检验在 1% 的显著性水平上拒绝了这个受约束的模型 [^gt_null]。 + +[^gt_null]: 这里的 $\chi^2(3)$ 临界值是近似的。在常数波动率的零假设下，GARCH 的伪真值满足 $\alpha = 0$，这位于参数空间的边界上，此时 $\beta$ 便不可识别。在代码所采用的坐标系中，$\operatorname{logit}\alpha \to -\infty$。标准渐近理论并不适用。加权矩阵不会带来额外的问题：在原假设下，$\alpha = 0$ 的 GARCH 模型正确地描述了数据，因此其得分是鞅差分序列，外积是有效的。Gallant 和 Tauchen 观察到，零假设通常能够带来这样的条件。 + +Gallant 和 Tauchen 强调这套方法的第二种用途。 + +一个能很好逼近数据的辅助模型，能使该检验对结构模型误设具有强大的检验力，而各个得分分量能够说明，一个被拒绝的模型*未能*匹配数据的*哪些*特征。 + +Gallant 和 Tauchen 的**拟 t 比率**，是把 $\sqrt{n}\, m(\hat\rho_n, \tilde\theta_n)$ 的每个分量除以其标准误。 + +$\sqrt{n}\, m(\hat\rho_n, \tilde\theta_n)$ 的渐近方差为 + +$$ +\Bigl(1 + \frac{n}{N}\Bigr) +\Bigl[ \mathcal{I}^0 - M^0 \bigl( (M^0)^\top (\mathcal{I}^0)^{-1} M^0 \bigr)^{-1} (M^0)^\top \Bigr] . +$$ + +估计 $\rho$ 会消除沿着 $M^0$ 各列所张成方向上的方差。 + +无约束坐标分别通过一个递增函数对每个 GARCH 参数进行变换。 + +因此 t 比率与在坐标 $(\mu, \omega, \alpha, \beta)$ 下所得的结果是相同的。 + +```{code-cell} ipython3 +I_sv = S_sv.T @ S_sv / T +M_cv = jacobian(moments_const_vol, r_cv.x) +V_cv = (I_sv - M_cv @ np.linalg.inv(M_cv.T @ W_sv @ M_cv) @ M_cv.T) * (1 + T / N) +t_cv = np.sqrt(T) * moments_const_vol(r_cv.x) / np.sqrt(np.diag(V_cv)) + +for name, t in zip(['μ', 'ω', 'α', 'β'], t_cv): + print(f"{name:>4}: {t:6.2f}") +``` + +对应于 $\omega$、$\alpha$ 和 $\beta$ 的分量——它们控制条件方差——是导致拒绝原假设的主要原因。 + +对应于 $\mu$ 的分量则不是。 + +每一个负号都表明，在其他辅助参数固定不变的情况下，若数据由常数波动率模型生成，会把该参数拉到低于观测数据所选出的值的位置。 + +常数波动率模型能够匹配收益率的均值，却无法复现今日方差对昨日收益率平方的依赖关系。 + +{cite:t}`GallantHsiehTauchen1997` 利用一个被拒绝的随机波动率模型的得分向量来诊断其缺陷，进而通过加厚 $z_t$ 的尾部并延长波动率方程的记忆来修复该模型。 + +## 应用 + +{cite:t}`GallantTauchen2010` 收集了该方法在金融领域连续时间模型中的应用。 + +{cite:t}`AndersenBenzoniLund2002` 对标准普尔 500 指数估计了随机波动率扩散模型，并予以拒绝，而跳跃扩散模型则通过了同样的检验。 + +其他应用包括拟合多因子随机波动率模型、利率的期限结构模型，以及汇率模型。 + +{cite:t}`BansalGallantHusseyTauchen1995` 把一个两国一般均衡货币模型拟合到高频货币市场数据，{cite:t}`GallantTauchen1996` 提议把一个单部门随机增长模型拟合到消费和股票收益数据。 + +实证拍卖模型是另一大类应用。 + +博弈论给出了在独立私人价值条件下中标出价的密度，而该密度只有对特定的估值分布才具有可处理的形式。 + +对任意估值分布来说，由它进行模拟都是容易的，因此得分匹配能够把理论的所有约束都充分利用起来。 + +## 恢复潜变量状态 + +在估计出 $\rho$ 之后，研究者往往希望得到潜在状态，例如收益率序列背后的波动率路径。 + +**重投影**可以恢复它 {cite}`GallantTauchen2010`。 + +在 $\hat\rho_n$ 处模拟一条长的状态与观测值路径，在模拟内部校准潜变量状态在当期及滞后观测值条件下的条件分布，然后在观测数据上计算这些经过校准的函数值。 + +重投影是一种基于模拟的非线性滤波方法。 + +## 相关讲座 + +{doc}`divergence_measures` 发展了出现在 {eq}`eq:gt_kl` 式中的库尔贝克-莱布勒散度，并展示了它与最大似然之间的联系。 + +{doc}`likelihood_ratio_process` 研究似然比过程，并用两个 KL 散度来表达其漂移项，这一表示与本讲座中的投影步骤密切相关。 + +{doc}`mle` 在似然函数可得的情形下通过最大似然法估计参数。 + +{doc}`hansen_singleton_1982` 把广义矩方法应用于某资产定价模型的欧拉方程。 + +{doc}`imp_sample` 描述了重要性抽样，这是获得模型无法以解析方式给出的期望值的另一条途径。 + +## 练习 + +```{exercise} +:label: gt_ex1 + +设在 $\rho$ 处的结构模型密度为 $p(\cdot \mid \rho)$，辅助模型族为 $\{f(\cdot \mid \theta) : \theta \in \Theta\}$。 + +a. 证明 + +$$ +\frac{\partial}{\partial \theta} D_{KL}\bigl( p(\cdot \mid \rho) \, \| \, f(\cdot \mid \theta) \bigr) + = - \, m(\rho, \theta) , +$$ + +其中 $m(\rho,\theta) = \mathbb{E}_{p(\cdot \mid \rho)} \bigl[ \partial \ln f(\cdot \mid \theta) / \partial\theta \bigr]$。 + +b. 由此推出伪真值 $\theta^0(\rho)$ 满足 $m\bigl(\rho, \theta^0(\rho)\bigr) = 0$。 + +c. 说明为何 $m(\rho^0, \theta^0) = 0$，以及为何这一结论的成立不需要结构模型嵌套在辅助模型族内部。 +``` + +```{solution-start} gt_ex1 +:class: dropdown +``` + +对于 a 部分，把该散度写成 + +$$ +D_{KL}\bigl( p(\cdot \mid \rho) \, \| \, f(\cdot \mid \theta) \bigr) + = \int p(y \mid \rho) \ln p(y \mid \rho) \, dy - \int p(y \mid \rho) \ln f(y \mid \theta) \, dy . +$$ + +第一项不涉及 $\theta$。 + +在积分号下对第二项求 $\theta$ 的导数，得到 + +$$ +\frac{\partial}{\partial \theta} D_{KL} + = - \int p(y \mid \rho) \frac{\partial}{\partial \theta} \ln f(y \mid \theta) \, dy + = - \, m(\rho, \theta) . +$$ + +对于 b 部分，伪真值是在 $\theta$ 上使该散度最小化所得的值。 + +内部的最小值使梯度为零，因此 $m\bigl(\rho, \theta^0(\rho)\bigr) = 0$。 + +对于 c 部分，自然界根据 $\rho^0$ 生成了数据，因此拟最大似然估计量 $\tilde\theta_n$ 收敛于真实数据生成过程的 KL 投影 $\theta^0 = \theta^0(\rho^0)$。 + +把 b 部分的结论代入 $\rho = \rho^0$，便给出 $m(\rho^0, \theta^0) = 0$。 + +嵌套关系在这一论证中不起任何作用。 + +无论该散度在其最小值处是否为零，伪真值都被定义为一个投影，而该散度在最小值处为零，仅在嵌套的情形下才成立。 + +一个设定有误的辅助模型仍能给出有效的矩条件。 + +它会付出效率上的代价。 + +但它保持了一致性。 + +```{solution-end} +``` + +```{exercise} +:label: gt_ex2 + +{cite:t}`GallantTauchen1996` 的定理 2 指出，当结构模型光滑地嵌入于辅助模型之中、且模拟误差可忽略时，得分匹配估计量和最大似然估计量具有相同的渐近分布。 + +在 AR(1) 与 AR(2) 的例子中，通过蒙特卡洛方法检验这一结论。 + +从 $\rho_1 = 0.8$、$\sigma = 1$ 的结构 AR(1) 模型中生成 60 个长度为 $T = 500$ 的独立样本。 + +对每个样本都计算这两个估计量，然后比较它们在各次重复中的均值、标准差，以及二者之间的相关系数。 + +把蒙特卡洛标准差与定理 2 给出的渐近标准差进行比较。 +``` + +```{solution-start} gt_ex2 +:class: dropdown +``` + +```{code-cell} ipython3 +T_mc, N_mc, R = 500, 20_000, 60 +rng_mc = np.random.default_rng(7) +ε_mc = rng_mc.standard_normal(N_mc) # common random numbers + +def emm_estimate(y, ε): + "Score matching estimate of (ρ1, σ) from the sample y with the shock array ε." + θ_r = ar2_qmle(y) + S_r = ar2_scores(θ_r, y) + W_r = np.linalg.inv(S_r.T @ S_r / S_r.shape[0]) + + def crit_r(ρ): + if not (abs(ρ[0]) < 0.999 and ρ[1] > 1e-6): + return 1e10 + m = ar2_scores(θ_r, simulate_ar1(ρ[0], ρ[1], ε)).mean(axis=0) + return float(m @ W_r @ m) + + return minimize(crit_r, np.array([0.5, 1.2]), method='Nelder-Mead', + options=dict(xatol=1e-6, fatol=1e-12)).x + +samples = [simulate_ar1(ρ1_0, σ_0, rng_mc.standard_normal(T_mc)) for _ in range(R)] +mle_draws = np.empty((R, 2)) +emm_draws = np.empty((R, 2)) + +for r_, y_r in enumerate(samples): + X_r = y_r[:-1] + ρ_m = float(X_r @ y_r[1:] / (X_r @ X_r)) + σ_m = float(np.sqrt(np.mean((y_r[1:] - ρ_m * X_r)**2))) + mle_draws[r_] = [ρ_m, σ_m] + emm_draws[r_] = emm_estimate(y_r, ε_mc) + +print(f"{'':20}{'mean ρ1':>10}{'sd ρ1':>10}{'mean σ':>10}{'sd σ':>10}") +print(f"{'maximum likelihood':20}{mle_draws[:,0].mean():10.4f}{mle_draws[:,0].std():10.4f}" + f"{mle_draws[:,1].mean():10.4f}{mle_draws[:,1].std():10.4f}") +print(f"{'score matching':20}{emm_draws[:,0].mean():10.4f}{emm_draws[:,0].std():10.4f}" + f"{emm_draws[:,1].mean():10.4f}{emm_draws[:,1].std():10.4f}") +sd_theory = [np.sqrt((1 - ρ1_0**2) / T_mc), σ_0 / np.sqrt(2 * T_mc)] +print(f"{'asymptotic theory':20}{ρ1_0:10.4f}{sd_theory[0]:10.4f}" + f"{σ_0:10.4f}{sd_theory[1]:10.4f}") +print(f"\ncorrelation across replications: ρ1 " + f"{np.corrcoef(emm_draws[:,0], mle_draws[:,0])[0,1]:.4f}, " + f"σ {np.corrcoef(emm_draws[:,1], mle_draws[:,1])[0,1]:.4f}") +``` + +```{code-cell} ipython3 +fig, axes = plt.subplots(1, 2) +for j, name in enumerate([r'$\rho_1$', r'$\sigma$']): + axes[j].scatter(mle_draws[:, j], emm_draws[:, j], s=18) + lo = min(mle_draws[:, j].min(), emm_draws[:, j].min()) + hi = max(mle_draws[:, j].max(), emm_draws[:, j].max()) + axes[j].plot([lo, hi], [lo, hi], 'k--', lw=1) + axes[j].set_xlabel(f'maximum likelihood, {name}') + axes[j].set_ylabel(f'score matching, {name}') +plt.tight_layout() +plt.show() +``` + +这两个估计量的标准差几乎完全相同。 + +两者的标准差都接近定理 2 给出的渐近值 $\sqrt{(1 - \rho_1^2)/T}$ 和 $\sigma / \sqrt{2T}$。 + +模拟因子 $1 + T/N$ 使得分匹配的数值提高了大约 1%。 + +这两个估计量在各次重复中的相关系数非常接近 1，散点图也紧贴着 45 度线。 + +在每个样本中，这两个估计量几乎是同一个随机变量。 + +$\rho_1$ 的两个估计量的均值相差大约 0.005。 + +每次重复都共享同一个扰动数组 `ε_mc`，因此其模拟误差会把全部 60 个得分匹配估计值一起朝同一方向偏移。 + +下一个代码单元用另外三个扰动数组重复了对 $\rho_1$ 的得分匹配估计。 + +```{code-cell} ipython3 +gap = (emm_draws[:, 0] - mle_draws[:, 0]).mean() +print(f"shock array ε_mc: mean gap in ρ1 = {gap:7.4f}") +for seed in (100, 101, 102): + ε_alt = np.random.default_rng(seed).standard_normal(N_mc) + ρ1_alt = np.array([emm_estimate(y_r, ε_alt)[0] for y_r in samples]) + gap = (ρ1_alt - mle_draws[:, 0]).mean() + print(f"shock array seed {seed}: mean gap in ρ1 = {gap:7.4f}") +``` + +这一偏差在不同的扰动数组之间改变符号，由此可见该偏差源于模拟误差。 + +```{solution-end} +``` + +```{exercise} +:label: gt_ex3 + +阶条件 $k_\theta \ge k_\rho$ 并不能保证可识别性。 + +Gallant 和 Tauchen 告诫说，随机波动率模型的混合过程参数需要三阶和四阶矩信息，而高斯向量自回归的得分无法提供这些信息。 + +请调查他们的这一警示。 + +把随机波动率例子中的 GARCH 辅助模型替换成一个高斯 AR(2)，它有 $k_\theta = 3$ 个参数，对应 $k_\rho = 3$ 个结构参数，故阶条件成立。 + +当 $k_\theta = k_\rho$ 时，该模型不再留有可供检验的过度识别约束。 + +从几个不同的初始值出发极小化所得的准则函数，并报告估计值及相应的准则值。 + +解释你的发现，并说出高斯 AR(2) 得分究竟确定了 $(a, r_w, r_y)$ 的哪个函数。 +``` + +```{solution-start} gt_ex3 +:class: dropdown +``` + +```{code-cell} ipython3 +θ_ar = ar2_qmle(y_sv) +S_ar = ar2_scores(θ_ar, y_sv) +W_ar = np.linalg.inv(S_ar.T @ S_ar / S_ar.shape[0]) + +def criterion_ar_score(u): + if np.max(np.abs(u)) > 25: + return 1e10 + ρ = to_ρ(u) + if ρ[1] / np.sqrt(1 - ρ[0]**2) > 1.0: # keep sd(w) where second moments stay reliable + return 1e10 + m = ar2_scores(θ_ar, simulate_sv(ρ[0], ρ[1], ρ[2], z_sim, η_sim)).mean(axis=0) + return float(m @ W_ar @ m) + +def implied_var(ρ): + "Unconditional variance of y implied by the structural parameters." + a, r_w, r_y = ρ + return r_y**2 * np.exp(2 * r_w**2 / (1 - a**2)) + +print(f"variance of the data = {y_sv.var():.3f}\n") +print(f"{'start a':>9}{'start r_w':>11}{'â':>9}{'r̂_w':>9}{'r̂_y':>9}" + f"{'implied var':>13}{'criterion':>12}") +for a_s in [0.3, 0.6, 0.9]: + for rw_s in [0.15, 0.30]: + u_s = np.array([np.log(a_s / (1 - a_s)), np.log(rw_s), np.log(0.6)]) + rr = minimize(criterion_ar_score, u_s, method='Nelder-Mead', + options=dict(maxiter=600, xatol=1e-5, fatol=1e-14)) + ρ_s = to_ρ(rr.x) + print(f"{a_s:>9.2f}{rw_s:>11.2f}{ρ_s[0]:>9.4f}{ρ_s[1]:>9.4f}" + f"{ρ_s[2]:>9.4f}{implied_var(ρ_s):>13.3f}{rr.fun:>12.2e}") + +bad = np.array([np.log(0.95/0.05), np.log(0.20), np.log(2.0)]) +print(f"\ncriterion when the variance of y is badly wrong: {criterion_ar_score(bad):.2e}") +``` + +这些估计值在整个参数空间中漫无目的地游走，而准则函数值却一直接近其下限。 + +在这些截然不同的参数向量上，准则值大约为 $10^{-3}$ 量级，而当 $y$ 的方差严重偏离真实值时，准则值接近 70，这揭示出准则函数曲面上存在一个平坦的谷地。 + +在这个随机波动率模型中，$z_t$ 与波动率路径相互独立，因此在任意 $(a, r_w, r_y)$ 处，$y_t$ 都是序列不相关的，尽管并非独立的。 + +记 $\gamma_j$ 为结构模型下 $y_t$ 的第 $j$ 阶自协方差。 + +由 $\gamma_1 = \gamma_2 = 0$，高斯 AR(2) 得分的三个分量的期望为 + +$$ +- \frac{\theta_1 \gamma_0}{\varsigma^2} , \qquad +- \frac{\theta_2 \gamma_0}{\varsigma^2} , \qquad +- \frac{1}{\varsigma} + \frac{(1 + \theta_1^2 + \theta_2^2) \, \gamma_0}{\varsigma^3} . +$$ + +这三者都只通过 $\gamma_0$（即方差）依赖于 $\rho$， + +$$ +\mathbb{V}(y_t) = r_y^2 \exp\!\left( \frac{2 r_w^2}{1 - a^2} \right) , +$$ + +因此一个方程必须确定三个参数。 + +在总体层面上，任何能使该表达式保持固定的 $(a, r_w, r_y)$，对高斯 AR(2) 得分的拟合效果都同样好。 + +该准则函数不会降到零。 + +数据的样本自相关并不精确地等于零，因此 $\tilde\theta_1$ 和 $\tilde\theta_2$ 也不为零，这样一来就没有任何 $\gamma_0$ 的取值能使这三个期望同时为零。 + +在有限次模拟中，模拟自协方差中的蒙特卡洛误差会扰动该谷地的底部，因此各行之间最小化后的准则值会略有差异。 + +上表证实了这一点：隐含方差都聚集在数据方差附近，而三个参数本身却千差万别。 + +代码对对数波动率过程的标准差 $r_w / \sqrt{1 - a^2}$ 施加了上界，使搜索保持在模拟二阶矩可靠的区域内。 + +若对数波动率的标准差非常大，会使 $\exp(2 w_t)$ 变得极其厚尾，以至于优化器仅凭利用蒙特卡洛误差，就能把模拟矩驱动到零。 + +厚尾现象与波动率聚集现象是四阶矩现象，而高斯自回归两者都无法记录。 + +前面使用过的 GARCH 辅助模型，通过其对数密度对 $u_t^2 / \sigma_t^2$ 的依赖关系，把这两者都记录了下来，因而能够识别全部三个参数。 + +Gallant 和 Tauchen 推荐这种诊断方法：准则函数曲面上的平坦区域，表明得分生成器对于该结构模型而言规模过小。 + +```{solution-end} +``` + +```{exercise} +:label: gt_ex4 + +随机波动率例子设定 $a = 0.8$。 + +请以 $a = 0.95$、$r_w = 0.2$、$r_y = 0.65$ 重新运行该例子。 + +此时对数波动率的标准差为 $r_w / \sqrt{1 - a^2} = 0.64$，$y_t$ 的总体峰度约为 15.5。 + +a. 计算数据处 GARCH 得分每个分量的前三个自相关系数。 + +b. 用另外两种方法估计 $\mathcal{I}^0$。 + +首先，使用 Gallant 和 Tauchen 的异方差与自相关一致估计。 +它在外积上加入得分在滞后 $\tau = 1, \ldots, \ell$ 处的样本自协方差，$\ell = [n^{1/5}]$，权重由帕尔森核函数 $w(\tau / \ell)$ 给出，其中 + +$$ +w(x) = +\begin{cases} +1 - 6x^2 + 6x^3 & 0 \le x \le 1/2 , \\ +2 (1 - x)^3 & 1/2 < x \le 1 . +\end{cases} +$$ + +其次，在估计值 $\hat\rho_n$ 处，从结构模型中独立模拟 300 组长度为 $n$ 的数据集，在每一组中计算 $\sqrt{n}$ 乘以在 $\tilde\theta_n$ 处的平均 GARCH 得分，然后对这些数据集求其协方差矩阵。 + +比较这三种估计的对角线元素。 + +c. 用每一种对 $\mathcal{I}^0$ 的估计重新估计 $\rho$，并比较定理 1 给出的标准误。 + +定理 1 的公式 $\bigl[ M^\top W M \bigr]^{-1}$ 假设加权矩阵 $W$ 等于 $(\mathcal{I}^0)^{-1}$。 + +对于外积估计和帕尔森估计，还需计算三明治标准误 + +$$ +\Bigl(1 + \frac{n}{N}\Bigr) \frac{1}{n} +\bigl( M^\top W M \bigr)^{-1} M^\top W \, \mathcal{I} \, W M \bigl( M^\top W M \bigr)^{-1} , +$$ + +其中用对 $\mathcal{I}^0$ 的模拟估计代替 $\mathcal{I}$。 + +d. 解释你的发现。 +``` + +```{solution-start} gt_ex4 +:class: dropdown +``` + +```{code-cell} ipython3 +rng4 = np.random.default_rng(5) +a_4, r_w4, r_y4 = 0.95, 0.20, 0.65 +y_4 = simulate_sv(a_4, r_w4, r_y4, rng4.standard_normal(T), rng4.standard_normal(T)) + +r_4 = minimize(garch_negll, θ_start, args=(y_4,), method='Nelder-Mead', + options=dict(maxiter=8000, xatol=1e-8, fatol=1e-8)) +θ_4 = r_4.x +S_4 = garch_scores(θ_4, y_4) +I_op = S_4.T @ S_4 / T + +S_c = S_4 - S_4.mean(axis=0) +names = ['μ', 'ω', 'α', 'β'] +print("autocorrelations of the GARCH score at lags 1, 2, 3") +for j, name in enumerate(names): + ac = [np.corrcoef(S_c[:-k, j], S_c[k:, j])[0, 1] for k in (1, 2, 3)] + print(f"{name:>4}: " + "".join(f"{x:8.3f}" for x in ac)) +``` + +```{code-cell} ipython3 +def parzen_hac(S): + "Parzen-weighted estimate of I^0 with lag truncation [n^(1/5)]." + n = S.shape[0] + ℓ = int(n ** 0.2) + V = S.T @ S / n + for τ in range(1, ℓ + 1): + x = τ / ℓ + w = 1 - 6 * x**2 + 6 * x**3 if x <= 0.5 else 2 * (1 - x)**3 + Γ = S[τ:].T @ S[:-τ] / n + V += w * (Γ + Γ.T) + return V + +z_4, η_4 = rng4.standard_normal(N), rng4.standard_normal(N) + +def moments_4(ρ): + return garch_scores(θ_4, simulate_sv(ρ[0], ρ[1], ρ[2], z_4, η_4)).mean(axis=0) + +def estimate_4(W): + "Score matching estimate and Theorem 1 standard errors for weighting matrix W." + def crit(u): + if np.max(np.abs(u)) > 25: + return 1e10 + m = moments_4(to_ρ(u)) + return float(m @ W @ m) + r_ = minimize(crit, u_0, method='Nelder-Mead', + options=dict(maxiter=400, xatol=1e-4, fatol=1e-10)) + ρ = to_ρ(r_.x) + return ρ, std_errors(moments_4, ρ, W, T, N) + +I_pz = parzen_hac(S_4) +ρ_op, se_op = estimate_4(np.linalg.inv(I_op)) +ρ_pz, se_pz = estimate_4(np.linalg.inv(I_pz)) + +R_4 = 300 +draws = np.empty((R_4, 4)) +for i in range(R_4): + y_i = simulate_sv(ρ_op[0], ρ_op[1], ρ_op[2], + rng4.standard_normal(T), rng4.standard_normal(T)) + draws[i] = np.sqrt(T) * garch_scores(θ_4, y_i).mean(axis=0) +I_sim = np.cov(draws.T) +ρ_sim, se_sim = estimate_4(np.linalg.inv(I_sim)) + +def sandwich_se(ρ, W, I): + "Standard errors of the estimator with weighting matrix W when the score variance is I." + M = jacobian(moments_4, ρ) + A = np.linalg.inv(M.T @ W @ M) + V = A @ M.T @ W @ I @ W @ M @ A * (1 + T / N) / T + return np.sqrt(np.diag(V)) + +sw_op = sandwich_se(ρ_op, np.linalg.inv(I_op), I_sim) +sw_pz = sandwich_se(ρ_pz, np.linalg.inv(I_pz), I_sim) + +print(f"{'diagonal of':24}" + "".join(f"{n:>9}" for n in names)) +for label, I in [('outer product', I_op), ('Parzen', I_pz), ('simulated data sets', I_sim)]: + print(f"{' ' + label:24}" + "".join(f"{x:9.3f}" for x in np.diag(I))) + +print(f"\n{'':24}{'a':>9}{'r_w':>9}{'r_y':>9}") +print(f"{'true values':24}{a_4:9.4f}{r_w4:9.4f}{r_y4:9.4f}") +for label, ρ, se, sw in [('outer product', ρ_op, se_op, sw_op), + ('Parzen', ρ_pz, se_pz, sw_pz), + ('simulated', ρ_sim, se_sim, None)]: + print(f"{label + ': estimate':24}" + "".join(f"{x:9.4f}" for x in ρ)) + print(f"{' std error':24}" + "".join(f"{x:9.4f}" for x in se)) + if sw is not None: + print(f"{' sandwich std error':24}" + "".join(f"{x:9.4f}" for x in sw)) +``` + +$\alpha$ 和 $\beta$ 分量的得分，在滞后 1 到 3 期的自相关系数介于 0.16 到 0.37 之间。 + +对于这些数据而言，高斯 GARCH 模型是一个设定有误的得分生成器，其得分并非鞅差分序列。 + +外积遗漏了长期方差 $\mathcal{I}^0$ 中所包含的自协方差项。 + +对 $\mathcal{I}^0$ 的模拟估计，对于 $\omega$、$\alpha$ 和 $\beta$ 分量而言是外积的两到四倍。 + +帕尔森估计只弥补了不到这一差距的一半。 + +在 $n = 2000$ 时，其滞后截断为 $\ell = 4$，帕尔森权重在滞后 1、2、3 期分别为 0.72、0.25 和 0.03，因此它丢弃了大部分持续存在的自协方差。 + +以外积作为 $W$ 时，定理 1 的公式对 $a$ 和 $r_y$ 的标准误低估了大约三分之一。 + +帕尔森估计把这两个标准误提高了大约五分之一。 + +外积估计量和帕尔森估计量的三明治标准误，几乎等于使用对 $\mathcal{I}^0$ 的模拟估计所得的估计量的标准误。 + +这三种估计量的精确度几乎相当，估计值也几乎没有移动。 + +加权矩阵选取不当所带来的损害，体现在所报告的精确度上。 + +而在这里，估计量本身几乎没有任何损失。 + +模拟估计本身也不够精确。 + +GARCH 得分的方差依赖于 $y_t$ 的八阶矩，而在这些参数值下，八阶矩极其巨大。 + +模拟估计还需要一个对 $\rho$ 的初步估计，而外积方法无需这一要求。 + +Gallant 和 Tauchen 的建议针对的是问题的根源：选择一个拟合良好的得分生成器。 + +{ref}`gt_choosing` 一节解释了原因：在级数展开中增加项数，会把其得分推向鞅差分序列，从而使外积成为有效的估计。 + +```{solution-end} +``` \ No newline at end of file From 4b7cf758df9ce082931cf775d9c28658705bf77a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Matt McKay Date: Mon, 12 Oct 2026 13:33:57 +1100 Subject: [PATCH 2/4] Update translation: .translate/state/gallant_tauchen.md.yml --- .translate/state/gallant_tauchen.md.yml | 6 ++++++ 1 file changed, 6 insertions(+) create mode 100644 .translate/state/gallant_tauchen.md.yml diff --git a/.translate/state/gallant_tauchen.md.yml b/.translate/state/gallant_tauchen.md.yml new file mode 100644 index 00000000..cdbb1f84 --- /dev/null +++ b/.translate/state/gallant_tauchen.md.yml @@ -0,0 +1,6 @@ +source-sha: f8d7e33de62f48ee0b25053fdc944065a9bc6614 +synced-at: "2026-10-12" +model: claude-sonnet-5 +mode: NEW +section-count: 15 +tool-version: 0.29.4 From a5fdf782d48608fac480d43757ba8b0349d694ae Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Matt McKay Date: Mon, 12 Oct 2026 13:33:58 +1100 Subject: [PATCH 3/4] Update translation: lectures/_toc.yml --- lectures/_toc.yml | 6 +++++- 1 file changed, 5 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/lectures/_toc.yml b/lectures/_toc.yml index 6f5d2f66..22c66586 100644 --- a/lectures/_toc.yml +++ b/lectures/_toc.yml @@ -30,7 +30,7 @@ parts: - file: bayes_nonconj - file: ar1_bayes - file: ar1_turningpts -- caption: 统计与信息论 +- caption: 统计与信息论 numbered: true chapters: - file: divergence_measures @@ -50,6 +50,7 @@ parts: - file: survival_recursive_preferences - file: pricing_information - file: market_diffusion + - file: gallant_tauchen - caption: 线性规划 numbered: true chapters: @@ -159,6 +160,8 @@ parts: - file: lake_model - file: endogenous_lake - file: rational_expectations + - file: lucas_prescott_investment + - file: optimal_growth_uncertainty - file: re_with_feedback - file: markov_perf - 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Ronald and Tauchen, George}, + title = {Which Moments to Match?}, + journal = {Econometric Theory}, + volume = {12}, + number = {4}, + pages = {657--681}, + year = {1996}, + doi = {10.1017/S0266466600006976} +} + +@incollection{GallantTauchen2010, + author = {Gallant, A. Ronald and Tauchen, George}, + title = {Simulated Score Methods and Indirect Inference for Continuous-Time Models}, + booktitle = {Handbook of Financial Econometrics: Tools and Techniques}, + editor = {Aït-Sahalia, Yacine and Hansen, Lars Peter}, + volume = {1}, + pages = {427--477}, + publisher = {Elsevier}, + year = {2010}, + doi = {10.1016/B978-0-444-50897-3.50011-0} +} + +@article{BollerslevWooldridge1992, + author = {Bollerslev, Tim and Wooldridge, Jeffrey M.}, + title = {Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in Dynamic Models with Time-Varying Covariances}, + journal = {Econometric Reviews}, + volume = {11}, + number = {2}, + pages = {143--172}, + year = {1992}, + doi = {10.1080/07474939208800229} +} + +@book{Gallant1987, + author = {Gallant, A. Ronald}, + title = {Nonlinear Statistical Models}, + publisher = {Wiley}, + year = {1987}, + doi = {10.1002/9780470316719} +} + +@article{Andrews1991, + author = {Andrews, Donald W. K.}, + title = {Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Covariance Matrix Estimation}, + journal = {Econometrica}, + volume = {59}, + number = {3}, + pages = {817--858}, + year = {1991}, + doi = {10.2307/2938229} +} + +@article{White1982, + author = {White, Halbert}, + title = {Maximum Likelihood Estimation of Misspecified Models}, + journal = {Econometrica}, + volume = {50}, + number = {1}, + pages = {1--25}, + year = {1982}, + doi = {10.2307/1912526} +} + +@article{GourierouxMonfortRenault1993, + author = {Gourieroux, Christian and Monfort, Alain and Renault, Eric}, + title = {Indirect Inference}, + journal = {Journal of Applied Econometrics}, + volume = {8}, + number = {S1}, + pages = {S85--S118}, + year = {1993}, + doi = {10.1002/jae.3950080507} +} + +@article{Smith1993, + author = {Smith, Anthony A.}, + title = {Estimating Nonlinear Time-Series Models Using Simulated Vector Autoregressions}, + journal = {Journal of Applied Econometrics}, + volume = {8}, + number = {S1}, + pages = {S63--S84}, + year = {1993}, + doi = {10.1002/jae.3950080506} +} + +@article{DuffeeStanton2008, + author = {Duffee, Gregory R. and Stanton, Richard H.}, + title = {Evidence on Simulation Inference for Near Unit-Root Processes with Implications for Term Structure Estimation}, + journal = {Journal of Financial Econometrics}, + volume = {6}, + number = {1}, + pages = {108--142}, + year = {2008}, + doi = {10.1093/jjfinec/nbm014} +} + +@article{GallantNychka1987, + author = {Gallant, A. Ronald and Nychka, Douglas W.}, + title = {Semi-Nonparametric Maximum Likelihood Estimation}, + journal = {Econometrica}, + volume = {55}, + number = {2}, + pages = {363--390}, + year = {1987}, + doi = {10.2307/1913241} +} + +@article{GallantTauchen1989, + author = {Gallant, A. Ronald and Tauchen, George}, + title = {Seminonparametric Estimation of Conditionally Constrained Heterogeneous Processes: Asset Pricing Applications}, + journal = {Econometrica}, + volume = {57}, + number = {5}, + pages = {1091--1120}, + year = {1989}, + doi = {10.2307/1913624} +} + +@article{GallantHsiehTauchen1997, + author = {Gallant, A. Ronald and Hsieh, David and Tauchen, George}, + title = {Estimation of Stochastic Volatility Models with Diagnostics}, + journal = {Journal of Econometrics}, + volume = {81}, + number = {1}, + pages = {159--192}, + year = {1997}, + doi = {10.1016/S0304-4076(97)00039-0} +} + +@article{AndersenBenzoniLund2002, + author = {Andersen, Torben G. and Benzoni, Luca and Lund, Jesper}, + title = {An Empirical Investigation of Continuous-Time Equity Return Models}, + journal = {Journal of Finance}, + volume = {57}, + number = {3}, + pages = {1239--1284}, + year = {2002}, + doi = {10.1111/1540-6261.00460} +} + +@article{BansalGallantHusseyTauchen1995, + author = {Bansal, Ravi and Gallant, A. Ronald and Hussey, Robert and Tauchen, George}, + title = {Nonparametric Estimation of Structural Models for High-Frequency Currency Market Data}, + journal = {Journal of Econometrics}, + volume = {66}, + number = {1-2}, + pages = {251--287}, + year = {1995}, + doi = {10.1016/0304-4076(94)01618-A} +}